共通テスト数学 過去問 解答・解説

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2026年度 共通テスト 数学ⅠA 第4問　リーグ戦で A が優勝する確率

答えは計算・数値で確かめています。問題は 大学入試センターの公式ページ で見られます。

解説動画は近日公開です。

答え

小問答え
(1)ア/イ $\displaystyle \dfrac49$　ウ/エ $\displaystyle \dfrac19$　オ/カ $\displaystyle \dfrac13$　キ/クケ $\displaystyle \dfrac{2}{27}$
(2)コ/サ $\displaystyle \dfrac16$　シ/スセ $\displaystyle \dfrac{1}{27}$　ソ $\displaystyle 4$　タ/チ $\displaystyle \dfrac19$　ツ/テ $\displaystyle \dfrac49$　ト/ナニ $\displaystyle \dfrac{2}{27}$　ヌ ⓪

解説

(1)
表2　A が B に勝ち，C に負ける場合
ABC勝ち数負け数抽選
A○×11√
B×○11√
C○×11√
(i) 2勝0敗：$\dfrac23\times\dfrac23=\dfrac49$　→ ア／イ
(ii) A が1勝1敗で優勝 ⇒ 3人とも1勝1敗(誰かが2勝すると負ける)
表2の確率：$\dfrac23\cdot\dfrac13\cdot\dfrac12=\dfrac19$　→ ウ／エ
抽選で A：$\dfrac19\times\dfrac13$　→ オ／カ $\dfrac13$
A が勝つ相手は B か C の2通り
$\dfrac{1}{27}\times2=\dfrac{2}{27}$　→ キ／クケ
(1)
3人のとき A が優勝する確率 $=\dfrac49+\dfrac{2}{27}=\dfrac{14}{27}$
(2)(i)
表3　D が全敗する場合(A は B, C と 1勝1敗)
ABCD勝ち数負け数抽選
A○×○21√
B×○○21√
C○×○21√
D×××03－
4人：3勝0敗 $\left(\dfrac23\right)^3=\dfrac{8}{27}$ は優勝。1勝2敗では優勝できない。2勝1敗を調べる
D が全敗：$\dfrac23\cdot\dfrac12\cdot\dfrac12=\dfrac16$　→ コ／サ
残りの A, B, C は (1)(ii) と同じ形 ⇒ A が優勝する確率は $\dfrac{2}{27}$
全敗する人は B, C, D の3通り
$\dfrac16\cdot\dfrac{2}{27}\cdot3=\dfrac{1}{27}$　→ シ／スセ
(2)(ii)
A が B に負け，B が 2勝1敗の例(表1)
ABCD勝ち数負け数抽選
A×○○21√
B○○×21√
C××○12－
D×○×12－
A が B に負けた場合：A が優勝するには B は 2勝1敗(抽選)か 1勝2敗
B が 2勝1敗：B が C, D のどちらに勝つかで2通り(この表は C に勝つ例)
(2)(ii)
A が B に負け，B が 1勝2敗の例
ABCD勝ち数負け数抽選
A×○○21√
B○××12－
C×○○21√
D×○×12－
B が 1勝2敗：C と D の対戦でどちらが勝つかで2通り
合わせて $2+2=4$ 通り　→ ソ $4$
$\underbrace{\dfrac13\cdot\dfrac23\cdot\dfrac23}_{\text{Aの結果}}\cdot\underbrace{\left(\dfrac12\right)^3\times4}_{\text{残り3試合}}\cdot\underbrace{\dfrac12}_{\text{抽選}}\times3=\dfrac19$　→ タ／チ
(2)
2勝1敗で優勝：$\dfrac{1}{27}+\dfrac19=\dfrac{4}{27}$
4人で A が優勝
$\dfrac{8}{27}+\dfrac{4}{27}=\dfrac{12}{27}=\dfrac49$　→ ツ／テ
$\dfrac{14}{27}-\dfrac{12}{27}=\dfrac{2}{27}$ だけ小さい　→ ト／ナニ，ヌ ⓪