共通テスト数学 過去問 解答・解説

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2026年度 共通テスト 数学ⅠA 第3問　三角錐の体積 ― 断面で考える

答えは計算・数値で確かめています。問題は 大学入試センターの公式ページ で見られます。

答え

小問答え
(1)ア ②　イ $\displaystyle 5$　ウ $\displaystyle 3$　エ ④　オカ $\displaystyle 40$
(2)(i)キ:ク $\displaystyle 1:4$　ケ$\displaystyle \sqrt{\text{コ}}=5\sqrt2$　サシ $\displaystyle 16$
(2)(ii)ス:セ $\displaystyle 6:1$　ソ ②

解説

(1)
ABCDIG
$10$
$10$
$6$
$6$
$5$
$3$
内心は角の二等分線の交点 ⇒ 直線 BI は $\angle\mathrm{ABC}$ を2等分する　→ ア ②
二等辺三角形 ⇒ D は BC の中点，$\mathrm{AD}=\sqrt{10^2-6^2}=8$
角の二等分線の定理：$\mathrm{AI:ID}=\mathrm{BA:BD}=10:6=5:3$
$\mathrm{AI}=8\times\dfrac58=5$，$\mathrm{ID}=3$　→ イ $5$　ウ $3$
(1)
AIGDPEF
$5$
$3$
断面 APD(縦は3倍で表示)
$\angle\mathrm{PED}=\angle\mathrm{PID}$ ⇒ 同じ側から PD を見る角が等しい ⇒ E, I, D, P は同一円周上　→ エ ④
方べきの定理：$\mathrm{AE\cdot AP}=\mathrm{AI\cdot AD}=5\times8=40$ …①
(2)(i)
AIGDPEF
$5$
$3$
$\mathrm{IF:FP}=3:2$
断面 APD(縦は3倍で表示)
$\triangle\mathrm{PAI}$ と直線 $\mathrm{E\!-\!F\!-\!D}$ にメネラウスの定理
$\dfrac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DI}}\cdot\dfrac{\mathrm{IF}}{\mathrm{FP}}\cdot\dfrac{\mathrm{PE}}{\mathrm{EA}}=1$ ⇒ $\dfrac83\cdot\dfrac32\cdot\dfrac{\mathrm{PE}}{\mathrm{EA}}=1$
$\mathrm{PE:EA}=1:4$　→ キ $1$　ク $4$
①：$\dfrac45\mathrm{AP}\cdot\mathrm{AP}=40$ ⇒ $\mathrm{AP}^2=50$，$\mathrm{AP}=5\sqrt2$
(2)(i)
$\mathrm{GD}=\dfrac13\mathrm{ID}=1$ ⇒ $\mathrm{AG}=\mathrm{AI}+\mathrm{IG}=5+2=7$
$\mathrm{PG}=\sqrt{\mathrm{AP}^2-\mathrm{AG}^2}=\sqrt{50-49}=1$
$V_1=\dfrac13\cdot\underbrace{\dfrac12\cdot12\cdot8}_{48}\cdot1=16$　→ サシ $16$
(2)(ii)
AIGDPEF
$5$
$3$
$\mathrm{IF:FP}=1:3$
断面 APD(縦は0.9倍で表示)
$\dfrac83\cdot\dfrac13\cdot\dfrac{\mathrm{PE}}{\mathrm{EA}}=1$ ⇒ $\mathrm{PE:EA}=9:8$
①：$\dfrac{8}{17}\mathrm{AP}^2=40$ ⇒ $\mathrm{AP}^2=85$
$\mathrm{PG}=\sqrt{85-49}=6$
$V_2:V_1=6:1$ ⇒ $V_2$ は $V_1$ より大きい　→ ス $6$　セ $1$　ソ ②