2026年度共通テスト数学ⅡBC 第7問　複素数平面 ― $z+\frac1z$ と楕円

答えは計算・数値で確かめています。問題は大学入試センターの公式ページで見られます。

解説動画は近日公開です。

答え

空欄	答え
ア	$\displaystyle 2$
イ√ウ/エ, オ/カ	$\displaystyle \frac{5\sqrt3}{4}$, $\displaystyle \frac34$
キ, ク	⑥$\displaystyle (r+\frac1r)\cos\theta$, ⑨$\displaystyle (r-\frac1r)\sin\theta$
ケ, コ	$\displaystyle 1$, ①(実軸上の線分 −2〜2)
サ	②
シ	③($\displaystyle z^2+\frac1{z^2}+2$)
ス, セ	②, ③

解き方の流れ　極形式で w を実部・虚部に → r=1 で線分、r≠1 で楕円 → w² は $z^2+\frac1{z^2}$ を2だけ平行移動。

(1)

$|z|=\sqrt{3+1}=2$　→ ア $2$

$\dfrac1z=\dfrac{\bar z}{|z|^2}=\dfrac{\sqrt3-i}{4}$

$w=\sqrt3+i+\dfrac{\sqrt3-i}{4}$
$\ \ =\dfrac{5\sqrt3}{4}+\dfrac34i$　→ イウエ，オカ

(2)(i)

$\dfrac1z=\dfrac1r(\cos\theta-i\sin\theta)$

$w=\left(r+\dfrac1r\right)\cos\theta$
$\quad+i\left(r-\dfrac1r\right)\sin\theta$
→ キ ⑥　ク ⑨

虚部が $\theta$ によらず $0$
⇔ $r-\dfrac1r=0$ ⇔ $r=1$　→ ケ $1$

(2)(ii)

$r=1$：$w=2\cos\theta$ ⇒ $-2\leqq w\leqq2$ の実数

実軸上の $-2$ から $2$ までの線分　→ コ ①

(2)(iii)

$\cos\theta=\dfrac{x}{r+\frac1r},\ \ \sin\theta=\dfrac{y}{r-\frac1r}$

$\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$ ⇒
$\dfrac{x^2}{\left(r+\frac1r\right)^2}+\dfrac{y^2}{\left(r-\frac1r\right)^2}=1$　→ サ ②

(3)

$w^2=\left(z+\dfrac1z\right)^2=z^2+\dfrac1{z^2}+2$　→ シ ③

$z^2$ は半径 $r^2$ の円 ⇒ (2)の $r$ を $r^2$ にかえて
$\dfrac{X^2}{\left(r^2+\frac1{r^2}\right)^2}+\dfrac{Y^2}{\left(r^2-\frac1{r^2}\right)^2}=1$　→ ス ②

$+2$ ⇒ その楕円を実軸方向に $2$ だけ平行移動(中心 $2$，横長)

(3)

(原本より)

左端 $2-\left(r^2+\dfrac1{r^2}\right)$：$r^2+\dfrac1{r^2}\gt 2$ ⇒ 左端は負(y 軸の左へはみ出す)

セ ③