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2026年度 共通テスト 数学ⅡBC 第6問 ベクトル ― 始点をそろえる
答えは計算・数値で確かめています。問題は 大学入試センターの公式ページ で見られます。
解説動画は近日公開です。
答え
| 空欄 | 答え |
|---|---|
| ア, イ | ④(E), ①(B) |
| ウ | ②($\displaystyle \vec{AP}-\vec{AM}$) |
| エ, オ, カ | ①$\displaystyle b$, ②$\displaystyle c$, ⑦$\displaystyle (-a-b-c)$ |
| キ, ク, ケ | ①$\displaystyle b$, ②$\displaystyle c$, ⑨$\displaystyle (1-a-b-c)$ |
| コ | ⑦($\displaystyle a+b+c=1$) |
| サ | ④(直線 IJ) |
| シ | ③ |
解き方の流れ M=A, D で具体的に → 始点を A にそろえる → M によらない ⇔ AM の係数0 → 係数の和が1の形で直線・領域を読む。
解説
(1)
図1：$\mathrm{B}$ が正六角形の中心。$\overrightarrow{\mathrm{BA}},\ \overrightarrow{\mathrm{BC}}$ などはすべて同じ長さ
(1)
$M=A$：$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=2\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{CB}}$
$\overrightarrow{\mathrm{CB}}=\overrightarrow{\mathrm{BE}}$ より $P=E$ → ア ④
(1)
$M=D$：$\overrightarrow{\mathrm{DP}}=\overrightarrow{\mathrm{DA}}+2\overrightarrow{\mathrm{DB}}-\overrightarrow{\mathrm{DC}}$
$\qquad=\overrightarrow{\mathrm{DB}}+(\overrightarrow{\mathrm{DA}}+\overrightarrow{\mathrm{DB}}-\overrightarrow{\mathrm{DC}})$
$\qquad=\overrightarrow{\mathrm{DB}}+(\overrightarrow{\mathrm{DA}}+\overrightarrow{\mathrm{DB}}-\overrightarrow{\mathrm{DC}})$
$\overrightarrow{\mathrm{DA}}+\overrightarrow{\mathrm{DB}}-\overrightarrow{\mathrm{DC}}=\overrightarrow{\mathrm{DA}}+\overrightarrow{\mathrm{CB}}=\overrightarrow{\mathrm{DA}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\vec{0}$
$\overrightarrow{\mathrm{DP}}=\overrightarrow{\mathrm{DB}}$ より $P=B$ → イ ①
(2)
左辺 $\overrightarrow{\mathrm{MP}}=\overrightarrow{\mathrm{AP}}-\overrightarrow{\mathrm{AM}}$ → ウ ②
$\overrightarrow{\mathrm{MA}}=-\overrightarrow{\mathrm{AM}},\ \ \overrightarrow{\mathrm{MB}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{AM}},\ \ \overrightarrow{\mathrm{MC}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AM}}$
右辺 $=b\overrightarrow{\mathrm{AB}}+c\overrightarrow{\mathrm{AC}}$
$\qquad+(-a-b-c)\overrightarrow{\mathrm{AM}}$ → エ ① オ ② カ ⑦
$\qquad+(-a-b-c)\overrightarrow{\mathrm{AM}}$ → エ ① オ ② カ ⑦
$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=b\overrightarrow{\mathrm{AB}}+c\overrightarrow{\mathrm{AC}}$
$\qquad+(1-a-b-c)\overrightarrow{\mathrm{AM}}$ → キ ① ク ② ケ ⑨
$\qquad+(1-a-b-c)\overrightarrow{\mathrm{AM}}$ → キ ① ク ② ケ ⑨
M によらない ⇔ $\overrightarrow{\mathrm{AM}}$ の係数が $0$ ⇔ $a+b+c=1$ → コ ⑦
(3)(i)
$a+b+c=1$ ⇒ $\overrightarrow{\mathrm{AP}}=b\overrightarrow{\mathrm{AB}}+c\overrightarrow{\mathrm{AC}}$
$a=\dfrac12$ ⇒ $b+c=\dfrac12$ ⇒ $2b+2c=1$
$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=2b\cdot\dfrac12\overrightarrow{\mathrm{AB}}+2c\cdot\dfrac12\overrightarrow{\mathrm{AC}}=2b\,\overrightarrow{\mathrm{AJ}}+2c\,\overrightarrow{\mathrm{AI}}$
係数の和 $2b+2c=1$ ⇒ P は直線 IJ 上 → サ ④
(3)(ii)
(原本より)
$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=b\overrightarrow{\mathrm{AB}}+c\overrightarrow{\mathrm{AC}}$
$b$ は自由($a=1-b-c$ で調整)，$c\lt 0$
$b$ は自由($a=1-b-c$ で調整)，$c\lt 0$
$b$ が自由 ⇒ 直線 AB の方向へはどこまでも動ける
$c\lt 0$ ⇒ 直線 AB から見て C と反対側
$c\lt 0$ ⇒ 直線 AB から見て C と反対側
直線 AB に関して C と反対側の半平面(境界を含まない) → シ ③