2026年度共通テスト数学ⅠA 第1問[2]　四角形の面積と円の接線

答えは計算・数値で確かめています。問題は大学入試センターの公式ページで見られます。

答え

小問	答え
(1)	ク ①　ケ ④　コ ④　サ ②
(2)(i)	シス $\displaystyle 72$　セソ $\displaystyle \dfrac45$　タチツテ $\displaystyle \dfrac{12}{13}$　$\displaystyle 15:13$　$\displaystyle \mathrm{RL}=\dfrac{21}{2}$
(2)(ii)	$\displaystyle \mathrm{RL}=21\sqrt2$

(1)

$S_1=\dfrac12\,\mathrm{AB}\cdot\mathrm{AD}\sin A$　→ ク ①

$S_2=\dfrac12\,\mathrm{BC}\cdot\mathrm{CD}\sin C$　→ ケ ④

$A+B+C+D=360^\circ,\ A+C=B+D$
⇒ $A+C=180^\circ$　→ コ ④

$\sin C=\sin(180^\circ-A)=\sin A$

(1)

$S=\dfrac{\mathrm{AB}\cdot\mathrm{AD}+\mathrm{BC}\cdot\mathrm{CD}}{2}\sin A$ …①
→ サ ②

(2)(i)

円外の点からの接線の長さは等しい：$\mathrm{PK}=\mathrm{PM}=12,\ \mathrm{QL}=\mathrm{QM}=9$

四角形 $\mathrm{PMOK}=2\times\dfrac12\cdot12\cdot6=72$　→ シス $72$

$\angle\mathrm{M}=\angle\mathrm{K}=90^\circ$ ⇒ $\angle\mathrm{P}+\angle\mathrm{O}=180^\circ$ ⇒ ①が使える

$\dfrac{12\cdot12+6\cdot6}{2}\sin P=72$
⇒ $\sin P=\dfrac45$　→ セソ

(2)(i)

$\dfrac{9\cdot9+6\cdot6}{2}\sin Q=54$
⇒ $\sin Q=\dfrac{12}{13}$　→ タチ／ツテ

(2)(i)

正弦定理：$\mathrm{PR}:\mathrm{QR}=\sin Q:\sin P$
$=\dfrac{12}{13}:\dfrac45=15:13$　→ トナ：ニヌ

$\mathrm{R}$ からの接線も等しい：$\mathrm{RK}=\mathrm{RL}=x$ とおく

$(12+x):(9+x)=15:13$
⇒ $13(12+x)=15(9+x)$

$x=\mathrm{RL}=\dfrac{21}{2}$　→ ネノ／ハ

(2)(ii)

$\dfrac{(4\sqrt2)^2+6^2}{2}\sin P=2\cdot\dfrac12\cdot4\sqrt2\cdot6$
⇒ $\sin P=\dfrac{12\sqrt2}{17}$

$\dfrac{(3\sqrt2)^2+6^2}{2}\sin Q=18\sqrt2$
⇒ $\sin Q=\dfrac{2\sqrt2}{3}$

$\triangle\mathrm{PQR}$ の角は $180^\circ-P,\ 180^\circ-Q$ ⇒ サインは同じ

(2)(ii)

$\mathrm{PR}:\mathrm{QR}=\dfrac{2\sqrt2}{3}:\dfrac{12\sqrt2}{17}=17:18$

$(x-4\sqrt2):(x-3\sqrt2)=17:18$
⇒ $x=\mathrm{RL}=21\sqrt2$　→ ヒフ／ヘ