2026年度共通テスト数学ⅠA 第2問[1]　最大・最小の条件から2次関数を決める

答えは計算・数値で確かめています。問題は大学入試センターの公式ページで見られます。

答え

小問	答え
(1)	ア $\displaystyle 0$　イ $\displaystyle 5$　ウ $\displaystyle 2$　エオ $\displaystyle -3$
(2)	カ ③　キク $\displaystyle -2$　ケ $\displaystyle 4$　コ $\displaystyle 1$　サ ⓪　シ ⑥
(3)	ス・セ　$\displaystyle 2,\ 6$

(1)

$y=2x^2-8x+5=2(x-2)^2-3$

区間 $0\leqq x\leqq3$ に頂点 $x=2$ が入る ⇒ 最小は頂点

最大は軸から遠い端：$x=0$($2$ 離れる) vs $x=3$($1$ 離れる)

$x=0$ で最大値 $5$，$x=2$ で最小値 $-3$
ア $0$　イ $5$　ウ $2$　エオ $-3$

(2)(i)

区間の内側の $x=-1$ で最大 ⇒ そこが頂点で，上に凸

頂点 $(-1,\ 3)$　→ カ ③

$f(x)=p(x+1)^2+3$
$f(-3)=4p+3=-5$ ⇒ $p=-2$

$f(x)=-2(x+1)^2+3=-2x^2-4x+1$
キク $-2$　ケ $4$　コ $1$

(2)(ii)

$a\geqq3$ で最小値が $-2$ のまま ⇒ $x=3$ で最小(頂点)，下に凸

$a\leqq6$ で最大値 $7$，$a\gt 6$ で $7$ より大 ⇒ $g(0)=g(6)=7$

$g(x)=q(x-3)^2-2,\ \ g(0)=9q-2=7$ ⇒ $q=1$

$g(x)=(x-3)^2-2=x^2-6x+7$　→ サ ⓪　シ ⑥

(3)

区間の幅はいつも $2$。区間がグラフの $x$ 軸より上の部分にかかれば $M\geqq0$

$b$ が大きくても小さくても $M\lt 0$ ⇒ 上に凸で，$h(x)\geqq0$ はある区間 $\alpha\leqq x\leqq\beta$

$M\geqq0 \iff b+1\geqq\alpha$ かつ $b-1\leqq\beta$
$\iff \alpha-1\leqq b\leqq\beta+1$

$\alpha-1=1,\ \beta+1=7$ ⇒ $x=2,\ 6$　(ス・セ)