2026年度共通テスト数学ⅡBC 第2問　三角関数 ― 和を積に

答えは計算・数値で確かめています。問題は大学入試センターの公式ページで見られます。

解説動画は近日公開です。

答え

空欄	答え
ア	①($\displaystyle \sin\alpha\cos\beta$)
イ, ウ	④$\displaystyle \frac{A+B}{2}$, ⑤$\displaystyle \frac{A-B}{2}$
エ, オ	③$\displaystyle \frac{\pi}{4}$, ②$\displaystyle \frac{\pi}{6}$
カ, キ	③$\displaystyle x=\frac\pi4$, ⑥$\displaystyle \sqrt3$
ク, ケ, コ	①, ①($\displaystyle 2a$), ④($\displaystyle 2\cos a+1$)
サシ/ス, セ	$\displaystyle \frac{11}{6}\pi$, ⑧($\displaystyle \sqrt3-1$)

解き方の流れ　加法定理の和で和積の公式 → (2) に当てはめて合成 → (3) は外側2つを組む → 係数が負なので sin が −1 で最大。

(1)

$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$
$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$　→ ア ①

足すと $\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)=2\sin\alpha\cos\beta$

$\alpha+\beta=A,\ \alpha-\beta=B$ とおくと
$\alpha=\dfrac{A+B}{2},\ \beta=\dfrac{A-B}{2}$　→ イ ④　ウ ⑤

(2)

$\dfrac{A+B}{2}=x+\dfrac{\pi}{4},\ \ \dfrac{A-B}{2}=\dfrac{\pi}{6}$

$f(x)=2\sin\left(x+\dfrac\pi4\right)\cos\dfrac\pi6$
$\quad\ \ =\sqrt3\sin\left(x+\dfrac\pi4\right)$　→ エ ③　オ ②

$x+\dfrac\pi4=\dfrac\pi2$ のとき，$x=\dfrac\pi4$ で最大値 $\sqrt3$　→ カ ③　キ ⑥

(3)(i)

真ん中が $x+2a$ ⇒ 外側の2つを①で組む　→ ク ①

$\sin(x+a)+\sin(x+3a)=2\sin(x+2a)\cos a$　→ ケ ①

$g(x)=(2\cos a+1)\sin(x+2a)$　→ コ ④

(3)(ii)

$a=\dfrac56\pi$：$2\cos\dfrac56\pi+1=1-\sqrt3\lt 0$

係数が負 ⇒ $\sin\left(x+\dfrac53\pi\right)=-1$ のとき最大

$x+\dfrac53\pi=\dfrac72\pi$ ⇒ $x=\dfrac{11}{6}\pi$　→ サシ／ス

最大値 $(1-\sqrt3)\times(-1)=\sqrt3-1$　→ セ ⑧