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2026年度 共通テスト 数学ⅡBC 第3問 微分・積分 ― 3次関数のグラフと面積
答えは計算・数値で確かめています。問題は 大学入試センターの公式ページ で見られます。
解説動画は近日公開です。
答え
| 空欄 | 答え |
|---|---|
| ア | ②($\displaystyle x^2-4x+3$) |
| イ, ウ | $\displaystyle 1$, ⑨($\displaystyle \frac43+k$) |
| エ, オ | $\displaystyle 3$, ⑤($\displaystyle k$) |
| カ, キ | ②($\displaystyle k=0$), ⓪($\displaystyle k\gt 0$) |
| ク, ケ | ⑧($\displaystyle -\frac43$), ⓪($\displaystyle 0$) |
| コ | ①($\displaystyle \int_0^\alpha f\,dx=0$) |
| サシス/セソ | $\displaystyle -\frac{11}{12}$ |
| タ, チ, ツ | ①, ②, ④(順不同) |
| テ, ト | ①, ④ |
| ナ | ④ |
解き方の流れ f′ → 増減表 → グラフ選び → 面積が等しい ⇔ ∫=0 → (2)は条件を1つずつ足して絞る。
解説
(1)(i)
$f\,{}^{\prime}(x)=x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$ → ア ②
$\begin{array}{c|ccccc} x & \cdots & 1 & \cdots & 3 & \cdots \\ \hline f\,{}^{\prime} & + & 0 & - & 0 & + \\ f & \nearrow & \frac43+k & \searrow & k & \nearrow \end{array}$
$x=1$ で極大値 $\dfrac43+k$，$x=3$ で極小値 $k$
イ $1$ ウ ⑨ エ $3$ オ ⑤
イ $1$ ウ ⑨ エ $3$ オ ⑤
(1)(ii)
(原本より)
$k=0$：$f(0)=0$(原点を通る)，極小値 $f(3)=0$ ⇒ $x=3$ で x 軸に接する → カ ②
$k\gt 0$：グラフ全体が上へずれる ⇒ y 切片が正で，極小値も正 → キ ⓪
(1)(iii)
$\alpha=1$。$f(0)\lt 0\lt f(1)$ ⇒ $k\lt 0\lt \dfrac43+k$
⇒ $-\dfrac43\lt k\lt 0$ → ク ⑧ ケ ⓪
⇒ $-\dfrac43\lt k\lt 0$ → ク ⑧ ケ ⓪
青い面積(x 軸の下) ＝ 赤い面積(x 軸の上) ⇔ 符号つきで足すと $0$ → コ ①
$\displaystyle\int_0^1 f(x)\,dx=\dfrac1{12}-\dfrac23+\dfrac32+k=\dfrac{11}{12}+k$
$\dfrac{11}{12}+k=0$ ⇒ $k=-\dfrac{11}{12}$ → サシス／セソ
(2)
(原本より)
(a) $g(0)=0$：原点を通る，$g\,{}^{\prime}(0)\gt 0$：原点で右上がり
(a) を満たすのは ①，②，④ → タチツ
(2)
(原本より)
(b) $g\,{}^{\prime}(x)=px^2+q$ ⇒ $g(x)=\dfrac p3x^3+qx$(奇関数)
原点に関して対称 ⇒ ①，④ → テト
(c) 下に凸 ⇒ $p\gt 0$。(a) から $q=g\,{}^{\prime}(0)\gt 0$ ⇒ $g\,{}^{\prime}(x)\gt 0$ ⇒ 単調に増加
ナ ④