2026年度共通テスト数学ⅡBC 第4問　数列 ― 階差数列で和を求める

答えは計算・数値で確かめています。問題は大学入試センターの公式ページで見られます。

解説動画は近日公開です。

答え

空欄	答え
ア, イ, ウ, エオ	$\displaystyle 3$, $\displaystyle 4$, $\displaystyle 7$, $\displaystyle 11$
カ	⓪($\displaystyle n-1$)
キ, ク, ケ	$\displaystyle 2,\ 3,\ 2$($\displaystyle a_n=2n^2-3n+2$)
コ, サ	⓪($\displaystyle p$), ⑤($\displaystyle 2p+q$)
シ, スセ	$\displaystyle 2$, $\displaystyle -3$
ソ, タ	③($\displaystyle 2n-1$), $\displaystyle 2$
チ, ツ	⑦($\displaystyle n^2-3n+3$), $\displaystyle 6$

解き方の流れ　階差数列の和=差 → 「階差が $d_n$ になる $c_n$ を見つける」→ 形を決めて係数比較 → 和は $c_{n+1}-c_1$。

(1)

$a_{n+1}=a_n+b_n$：$1\to4\to11\to22\to37$

$b_1=3,\ a_2=1+3=4,\ b_2=7,\ a_3=4+7=11$

$n\geqq2$：$a_n=a_1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}b_k$　→ カ ⓪

$=1+4\cdot\dfrac{(n-1)n}{2}-(n-1)$

$a_n=2n^2-3n+2$　→ キ $2$　ク $3$　ケ $2$

(2)

$c_n=(2n-3)2^n,\ d_n=(2n+1)2^n$
足すと途中が消える：$d_1+\cdots+d_n=c_{n+1}-c_1$

発想：$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}d_k=c_{n+1}-c_1$(表の差を足すと途中が消える)

$c_{n+1}-c_n=\{p(n+1)+q\}2^{n+1}-(pn+q)2^n$
$\qquad\qquad\ =(pn+2p+q)\cdot2^n$　→ コ ⓪　サ ⑤

$(2n+1)$ と比べて $p=2,\ 2p+q=1$ ⇒ $q=-3$　→ シ $2$　スセ $-3$

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}d_k=c_{n+1}-c_1$
$=(2n-1)\cdot2^{n+1}+2$　→ ソ ③　タ $2$

(3)

$d_n$ が「2次式 $\times2^n$」⇒ $c_n=(pn^2+qn+r)\cdot2^n$ とおく

$c_{n+1}-c_n=\{pn^2+(4p+q)n+(2p+2q+r)\}\cdot2^n$

$p=1,\ 4p+q=-1,\ 2p+2q+r=-1$ ⇒ $q=-5,\ r=7$

$c_n=(n^2-5n+7)2^n$ ⇒
$\displaystyle\sum_{k=1}^n d_k=(n^2-3n+3)\cdot2^{n+1}-6$　→ チ ⑦　ツ $6$