2026年度共通テスト数学ⅡBC 第5問　統計 ― 正規分布と仮説検定

答えは計算・数値で確かめています。問題は大学入試センターの公式ページで見られます。

解説動画は近日公開です。

答え

空欄	答え
ア, イ	①$\displaystyle \frac{X-116}{25}$, ⑤$\displaystyle 0.44$
ウ, エ	⓪$\displaystyle p$, ③$\displaystyle p(1-p)$
オ	⑦$\displaystyle \frac{p(1-p)}{n}$
カ, キ	②$\displaystyle \frac{\sqrt6}{100}$, ②$\displaystyle 0.0071$
ク, ケ	①, ⓪
コ, サ	①(大きい), ①(棄却されない)

解き方の流れ　標準化 → 1人分の確率変数 → 標本平均の分布 → z を出して上側確率と 5% をくらべる → n が小さいと同じ比率でも棄却できない。

(1)

標準化：$Y=\dfrac{X-116}{25}$　→ ア ①

$X\geqq120 \iff Y\geqq\dfrac{4}{25}=0.16$

$P(Y\geqq0.16)=0.5-0.0636=0.4364\fallingdotseq0.44$　→ イ ⑤

(2)(i)(ii)

$E(W_i)=p$　→ ウ ⓪
$V(W_i)=(0-p)^2(1-p)+(1-p)^2p=p(1-p)$　→ エ ③

$\overline{W}$ は近似的に $N\!\left(p,\ \dfrac{p(1-p)}{n}\right)$　→ オ ⑦

$p=0.4,\ n=400$：標準偏差 $\sqrt{\dfrac{0.4\times0.6}{400}}=\dfrac{\sqrt6}{100}$　→ カ ②

$z=\dfrac{0.46-0.4}{\sqrt6/100}=\sqrt6\fallingdotseq2.45$

(2)(ii)

$P(\overline{W}\geqq0.46)=0.5-0.4929=0.0071$　→ キ ②

$0.71\%\lt 5\%$ ⇒ 帰無仮説は棄却される　→ ク ①
合格率は $0.4$ より高いと判断できる　→ ケ ⓪

(3)

$n=100$：標準偏差 $\sqrt{\dfrac{0.24}{100}}=\dfrac{\sqrt6}{50}$

$z=\dfrac{0.06}{\sqrt6/50}=\dfrac{\sqrt6}{2}\fallingdotseq1.22$
⇒ $P\fallingdotseq0.5-0.3888=0.1112$

約 $11\%\gt 5\%$ ⇒ 帰無仮説は棄却されない　→ コ ①　サ ①